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Text File  |  1993-06-24  |  4KB  |  92 lines
  1. This is the Readme for files:
  2.  
  3. PHYSICS.FRM   METHODS.FRM  HALLWEEN.FRM  PHOENIX2.FRM
  4. F(G(Z))).FRM  FRAME.FRM    BESSELS.FRM
  5.  
  6. also author of tworain3.map, rainbow6.map, rainbow7.map.
  7. ----------------------------------------------------------------------------
  8.  
  9. Here are some of my best ??? fractal formulas.  Some are whimsical
  10. dreamings of my own.  Others (most actually) are based on equations
  11. that I have found from reading various books on chaos, dynamical 
  12. systems, and complex numbers.  The formulas in the methods.frm file
  13. are the result of my attempts to write Newton's method for something
  14. more complex than z ^ n - 1.  But, unfortunately that requires some
  15. tricky programming and mathematics.  So I settled for trying to use 
  16. the result as a normal equation.  This produced some ungainly looking
  17. objects.  Then, thinking that setting the OUTSIDE setting to REAL was
  18. like testing only the real protion of z.  Boy!!! was I ever wrong.
  19. But BOY!!! did it ever produce some interesting images.  Some even get
  20. more beautiful if you zoom out rather than zoom in.  They begin to look
  21. like biomorphs.
  22.  
  23. --------------------------------
  24. LRCMIKE@LRC.OLDSCOLLEGE.AB.CA
  25.  
  26. Michael G. Wareman
  27. P.O. Box 1856
  28. Olds, Alberta, Canada
  29. T0M 1P0
  30. --------------------------------
  31.  
  32. -----------------------------------------------------------
  33.  
  34. Info on F(G(Z))).FRM     (by michael g. wareman)
  35.  
  36. -----------------------------------------------------------
  37. To me complex numbers, fractals, and the interesting images they spawn 
  38. are both fascinating and enjoyable.  I would like to share with my fellow 
  39. programmers an interesting discovery I have made.  My fractal is like 
  40. other fractals, that is, it is based on the basic mathematical operations 
  41. of complex numbers.  The idea for this fractal came from a chapter in 
  42. Clifford A. Pickover's book titled: Computers, patterns, chaos, and beauty 
  43. on composite functions.  What I did was ask: What would happen if I would 
  44. put the Mandelbrot fractal equation through a second equation.  Below are 
  45. the two equations that I used to create FGZ (which is what I have come to 
  46. know this fractal as).
  47.     Z = Z * Z + C
  48.     Z = (3 * Z * Z) / (Z + 3) + C
  49. If you have access to the Fractint program mentioned in Algorithm 
  50. issue 3.3, or available when you buy Timothy Wegner's, and Mark 
  51. Peterson's book (see further reading).  You can use the following algorithm:
  52. {NOTE: this formula and its variations are found in the F(G(Z)).frm on this        
  53. disk.}
  54.     FGZ   {
  55.           z = c = pixel:
  56.          z = z * z + c;
  57.          z = (3 * z * z) / (z + 3) + c,
  58.           |z| <= 4
  59.        }
  60. The first noteworthy thing about the image is that it appears to be two 
  61. separate sets.  Upon closer examination it is actually one image.  Another 
  62. interesting thing is that it has several floating images in front of it, 
  63. and shooting out from its branches.  Here are some suggestions for some 
  64. interesting experiments to try.  I have created some very interesting 
  65. Julia images based on the coordinates obtained from magnified portions 
  66. of the original fractal image.  Since there were two "C values" (one in 
  67. each of the two equations) I decided to try replacing only one of the 
  68. two "C values.  This resulted in distorted fractal images that tended to 
  69. be too chaotic.  Who knows maybe there is a sensible fractal image and 
  70. I have not found it yet.  If both "C values" are replaced by the same 
  71. coordinate set then a proper Julia appears exhibiting the behavior of 
  72. the magnified main image.  Interesting Julias can be created by using 
  73. only the real or imaginary components of previously calculated Julias.  
  74. So far only the real component of the complex number generates reasonable 
  75. Julias.  It remains to be seen if there are any imaginary components 
  76. that result in reasonable Julia images, or is there some other 
  77. relationship dependant on the location of the coordinate pair that 
  78. determines which value will result in good Julia images.
  79. SOME C VALUES TO TRY:
  80. For Fractint users : replace the c with:
  81. (-0.6882, -0.1729)
  82. (-0.6904, -0.2958)
  83. (-0.4919, 0.4572)
  84. (0.3379, 0)
  85. Another thing to try is replace the constants (ie the 3's) with other 
  86. values.  My initial experiments show that constant values less than 3 
  87. cause the arms to merge.  In fact the value 2 you can still see little
  88. fractal lakes with more little fractal lakes.  See the fgz2-arm for what
  89. I mean.
  90.  
  91.  
  92.